3. uzdevums

Ķermenis brīvā kritiena pirmajā sekundē veic 4,9 metrus, bet katrā nākamajā sekundē par 9,8 metriem vairāk. Aprēķini šahtas dziļumu, ja brīvi krītošs ķermenis šahtas dibenu sasniedz pēc 5 sekundēm kopš krišanas sākuma momenta!

Atrisinājums

Uzdevuma teksta pirmajā teikumā vārdiski ir aprakstīta virkne. Tās pirmais loceklis – veiktais attālums pirmajā sekundē – a1 = 4,9 m. Tā kā katrā nākamajā sekundē attālums palielinās par vienu un to pašu lielumu – 9,8 metriem, šī virkne ir aritmētiskā progresija, kuras diference d = 9,8 m. Tā kā kritiens ilgst 5 sekundes, tad šai virknei ir pieci locekļi un n = 5.


Virkni, kurā katru nākamo locekli iegūst iepriekšējam pieskaitot vienu un to pašu skaitli, sauc par aritmētisko progresiju. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas diferenci un apzīmē ar d.

Tātad, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d,..., an = an-1 + d.

Aritmētiskās progresijas vispārīgā locekļa aprēķināšanas formula ir
an = a1 + (n−1)∙ d.

Aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summas aprēķināšanas formula .

Tālāk

Šahtas dziļumu veido katrā sekundē veikto attālumu summa, jeb aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu summa (S5). To var aprēķināt, izmantojot aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summas formulu.

,  kur
a1- virknes pirmais loceklis,
an - aprēķināmās summas pēdējais loceklis,
n – summas locekļu skaits

Tālāk

Lai aprēķinātu aritmētiskās progresijas pirmo piecu locekļu summu, vispirms jāaprēķina virknes piektais loceklis a5

(izmantojot aritmētiskās progresijas n – tā locekļa formulu ).

an = a1 + (n − 1) ∙ d, kur d - diference


Tālāk

a5 = a1 + (5 − 1) ∙ d = 4,9 + 4 ∙ 9,8 = 4,9 + 39,2 = 44,1


Tālāk

Šo uzdevumu ar fizikālo saturu var atrisināt izmantojot fizikas zināšanas.

Brīvajā krišanā noieto ceļu h laika brīdī t aprēķina izmantojot formulu , kur . Šajā gadījumā pirmās sekundes laikā veiktais attālums , bet šahtas dziļums .


Tālāk

Atbilde: Šahtas dziļums ir 122,5 metri.