2. uzdevums
Dota virkne 3,5; 5,5; 7,5.... Izvirzi hipotēzi par to, kā varētu šo virkni definēt rekurenti un kāda varētu būt šīs virknes vispārīgā locekļa formula!
Atrisinājums
Lai virkni, kurai ir uzdoti daži pirmie locekļi, definētu rekurenti, vispirms jāatrod atbilde uz jautājumu: kā (ar kādām matemātiskām darbībām) no virknes locekļa tiek iegūts nākamais (no pirmā otrais, no otrā trešais utt.) virknes loceklis.
Tālāk
a1 = 3,5
a2 = 5,5 = 3,5 + 2 = a1 +2
a3 = 7,5 = 5,5 + 2 = a2 +2
Ja visos gadījumos šīs darbības ir vienas un tās pašas, ir saskatīta likumsakarība.
Tālāk
Ar vārdiem atrasto likumsakarību varētu formulēt tā: katrs virknes loceklis (sākot ar otro) tiek iegūts, iepriekšējam pieskaitot 2.
Tālāk
Pierakstot šo apgalvojumu formulas veidā, iegūst an
= an-1 +2.
Tālāk
Lai virkni definētu rekurenti, sakarībai, kas izsaka n – tā locekļa iegūšanu no iepriekšējā, jāpievieno pirmā locekļa skaitliskā vērtība. Ja a1 = 3,5, tad an = an-1 +2.
Tālāk
Lai virknei, kurai ir uzdoti daži pirmie locekļi, izveidotu tai atbilstošu vispārīgā locekļa formulu, jāatrod atbilde uz jautājumu:
Kādas matemātiskās darbības izpildot no virknes locekļa kārtas numura var iegūt virknes locekļa skaitlisko vērtību?
kāda likumsakarība pastāv starp virknes locekļa kārtas numuru un tam atbilstošo virknes locekļa vērtību attiecībā uz dotajiem virknes locekļiem?
Tālāk
Dotajai virknei a1 = 3,5 a2 = 5,5 a3 = 7,5
Jādomā par to, kā, izpildot vienas un tās pašas matemātiskās darbības,
no 1 var iegūt 3,5;
no 2 var iegūt 5,5;
no 3 var iegūt 7,5;
Tālāk
n = 1 1 ∙ 2 + 1,5 = 3,5
n = 2 2 ∙ 2 + 1,5 = 5,5
n = 3 3 ∙ 2 + 1,5 = 7,5
Tālāk
Ja visiem virknes locekļiem šīs sakarības ir vienādas, ir saskatīta likumsakarība. Ar vārdiem atrasto likumsakarību varētu formulēt tā: katrs virknes loceklis tiek iegūts, tam atbilstošo kārtas numuru pareizinot ar 2 un pieskaitot 1,5
an = 2n + 1,5
Tālāk
Atbilde: Doto virkni rekurenti var definēt ar formulām a1 = 3,5 un an
= an-1 + 2. Dotās virknes iespējamā vispārīgā locekļa formula ir
an = 2n + 1,5.