1. uzdevums

Regulāras trijstūra piramīdas MABC pamata malas garums ir cm, visas sānu skaldnes ar pamata plakni veido 60° leņķi.
Aprēķini:

a) piramīdas pamata laukumu,
b) piramīdas augstumu un apotēmu,
c) piramīdas sānu virsmas laukumu,
d) piramīdas tilpumu,
e) leņķi, ko veido sānu šķautne ar pamata plakni!

Atrisinājums
Apotēma – regulāras piramīdas sānu skaldnes augstums, kas novilkts no piramīdas virsotnes.
a) Regulāra trijstūra laukumu var aprēķināt, lietojot trijstūra laukuma formulu. vai regulāra trijstūra laukuma formulu.

Tālāk
Regulāra trijstūra laukumu var aprēķināt, lietojot arī regulāra trijstūra laukuma formulu .
b) Lai aprēķinātu augstumu MO un apotēmu ML, vispirms aprēķināsim trijstūrī ievilktā riņķa rādiusu OL.

Tālāk.
Regulārā trijstūrī un ievilktā riņķa rādiuss ir
Tālāk.
Regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu var aprēķināt arī pēc formulas
Izmantojot pamata laukumu un to, ka visas sānu skaldnes ar pamata plakni veido leņķi, sānu virsmas laukumu var aprēķināt lietojot faktu, ka . Piramīdas sānu virsmas laukums
No taisnleņķa trijstūra MOL () aprēķināsim piramīdas augstumu un apotēmu
Tālāk.

c) Tā kā dota regulāra piramīda, tad visas trīs sānu skaldnes ir vienādas un piramīdas sānu virsmas laukums.

. Sānu virsmas laukumu var aprēķināt, arī lietojot formulu regulāras piramīdas sānu virsmas laukumam vai
izmantojot pamata laukumu un divplakņu kakta leņķi.

Tālāk.
d) Piramīdas tilpums (,( un (.
Tādēļ piramīdas tilpums ir (
Tālāk.

e) Regulāras piramīdas visas sānu šķautnes veido vienādus leņķus ar pamata plakni, tādēļ varam aprēķināt, piemēram, sānu šķautnes AM un tās projekcijas pamata plaknē  AO veidoto leņķi .
un , tādēļ un .